Der nächste Teil der Vorlesung dreht sich um die Parzellmordzerlegung.

Da geht es darum, was man machen muss, wenn man ein Integral der Form hat, wie das hier,

also ein Integral von f von x dx, wobei f von x oben ein Polynom hat und unten ein Polynom

hat, also ich finde jetzt was, x hoch 7 minus 3 mal x hoch 3 plus 15 und unten jetzt x hoch

8 plus 17, ja zum Beispiel sowas. Wie kann man das integrieren? Und das geht mit der Partialbruchzerlegung.

Das sind jetzt mehrere Schritte, die man nacheinander durchmacht. Das erste ist, wir müssen den

sogenannten ganzen Anteil abspalten. Wie wir sehen, wir haben hier ein n oben und ein m unten. n ist

die höchste Potenz, also der Grad dieses Polynoms oben und m ist der Grad des Polynoms unten.

Und wenn n größer gleich m ist, dann kann man diesen Überschuss von n minus m abspalten. Das sehen wir

mal konkret in diesem Beispiel. f von x ist x hoch 4 plus x hoch 3 und so weiter durch x 100 plus x minus 1.

Das heißt oben haben wir ein größeres Polynom, also ein höhergradiges Polynom als unten. Jetzt können wir

eine Polynomdivision durchführen. Und ich denke es schadet vielleicht nicht, die Polynomdivision

einmal durchzuführen. Also x hoch 4 plus x hoch 3 plus 3x² plus 5x minus 3. Und das hier

wollen wir jetzt dividieren durch x² plus x plus 1. Das nennt sich jetzt Polynomdivision und

funktioniert eigentlich genauso wie schriftliche Divisionen mit Zahlen. Das Ziel ist jetzt diese

Darstellung rauszubekommen. Also quasi hier einen Polynom rauszuziehen und dann ein Rest zu haben.

Das ist genauso wie mit schriftlicher Division. Das funktioniert folgendermaßen. Man guckt jetzt,

wir haben x hoch 4 und so weiter durch x hoch 2 durch irgendwas. Die führende Potenz ist also x hoch 4 und x hoch 2.

Das heißt wir schreiben jetzt hier eine x hoch 2 hin, weil x hoch 4 durch x hoch 2 gleich x hoch 2 ist.

Das müssen wir jetzt auch abziehen. Also ziehen wir jetzt x hoch 2 mal diesen Rampfschein ab. Dann haben wir x hoch 4 plus x hoch 3 minus x².

Ziehen wir es ab. x hoch 4, x hoch 4 ist weg, x hoch 3, x hoch 3 ist weg. 3x² minus minus x² ist 4x² plus 5x minus 3.

Jetzt 4x² plus 5x minus 3 durch x² plus x plus 1. Da haben wir wieder die führende Potenz von x² x².

Das heißt wir haben jetzt hier plus 4, weil 4x² durch x² durch 4 ist. Jetzt müssen wir alles abziehen,

was entsteht, wenn wir 4 mit diesem Termin mitmultiplizieren. Also 4x² plus 4x minus 4.

Abziehen, 5x, also das hier fällt weg, 4x² minus 4x², 5x minus 4x ist x, minus 3, minus minus 4 ist plus 1.

Das bedeutet x hoch 4 plus x hoch 3 plus 3x² plus 5x minus 3 geteilt durch x² plus x minus 1 ist das gleiche wie

x² plus 4 plus der Rest x plus 1 durch x² plus x minus 1. Und das ist genau das was hier dran steht.

So bekommt man das raus. Also Polynomyvision, ich weiß nicht ob Sie es in der Schule gemacht haben,

ich habe es damals noch in der Schule gemacht, manche machen es, manche machen es nicht.

Es ist dieses Schema, das man anwendet, genauso über der schriftlichen Division,

wenn Sie ich sage es mal 127 durch 9 dividieren müssen. Also ähnlich.

Erst muss ich überlegen wie oft passt 9 in 127 rein. Also 11 mal ist 99, dann passt noch 3 mal rein,

also 14 passt das rein, jetzt müssen wir abziehen, minus 14 mal 9, was ist 14 mal 9? 136, 126 kommt raus, dann ist 1.

Das heißt 127 neunthel ist gleich 14 plus ein neunthel und manchmal schreibt man es auch so,

ist gleich 14, Rest 1. Das ist genau das gleiche Verfahren, nur für Polynomische statt für Zahlen.

Sie können diese Potenzen hier als hunderter, Zehner und Einerstellen so vorstellen,

was hier mit den Zahlen passiert. So kann man es sich vorstellen, man möchte.

Das ist eine Sache, die muss man für sich genau üben, das ist nur Handwerkszeug eigentlich.

So kommt man auf diese Darstellung, die jetzt hier dran steht.

Der Punkt ist also, wenn das Polynom oben einen höheren Grad hat oder den gleichen Grad wie das Polynom drunter,

dann kann man auf jeden Fall ein richtiges Polynom abspalten und das hier ist leicht zu integrieren.

Das heißt das Schwierige ist nur der Rest, wo der Nenner einen größeren Grad hat als der Zehner.

Ab jetzt sagen wir, der Zehnergrad ist kleiner als der Nennergrad, weil der Rest ist einfach zu integrieren.

Okay, so haben wir es zurückgeführt, auf den Fall n kleiner als n.

Jetzt geht es weiter. Der zweite Schritt ist, dass wir alle und auch die komplexen Nullstellen des Nenners und deren Vielfachheit bestimmen müssen.

Das ist im Prinzip sehr schwierig, aber die Aufgaben, die ich Ihnen geben werde,

die sind natürlich so, dass Sie die Nullstellen vielleicht raten können oder aus dem Wesentlichen schon dran sind.

Also es gibt da kein Algorithmus für großes M, für M gleich 2 gibt es eine Formel, die Mitternachtsformel,

aber dann hört es euch auch auf, für M3 und 4 gibt es noch unsäglich hässliche Formeln, die kein Mensch auswendig kennt,

aber für M größer als 5 geht es nicht mehr.